Física I: Dinámica y Cinemática

Dinámica Rotacional Equilibrio y Gravitación

Temas 13, 14 y 15

Momentos de inercia · Elasticidad · Leyes de Kepler

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Contexto

¿Por qué estudiar la rotación y la gravitación?

Una de las áreas más fascinantes de la mecánica es la dinámica rotacional, que estudia y analiza las causas que producen la rotación mediante conceptos como momento de inercia, momento de torsión y momento angular.

🚪 ¿Por qué la perilla va al borde?

La perilla de una puerta se coloca en el extremo y no en el centro. La distancia al eje de rotación maximiza el torque con la misma fuerza.

🚲 ¿Por qué llantas de disco?

Algunas bicicletas de carreras usan llantas de disco. La distribución de masa cambia el momento de inercia y por tanto la resistencia a la rotación.

⚽ ¿Esfera sólida vs hueca?

Dos esferas con la misma masa no llegan al mismo tiempo en un plano inclinado. El momento de inercia determina cuál llega primero.

🌍 Gravitación: preguntas que cambiaron la ciencia

¿Por qué la Luna rota alrededor de la Tierra cada 28 días? ¿A qué se deben las mareas? ¿Por qué los planetas tienen órbitas elípticas? Todo esto se explica con la Ley de Gravitación Universal de Newton y las Leyes de Kepler.

Objetivos

Lo que aprenderás

Calcular momentos de inercia de cuerpos rígidos

Aplicar la integral de masa para obtener el momento de inercia de barras, cilindros, discos, esferas y placas, y comparar su resistencia relativa a la rotación.

Aplicar el teorema de trabajo y energía rotacional

Relacionar el torque neto con el cambio en la energía cinética rotacional mediante la ecuación análoga al teorema trabajo-energía de la traslación.

Usar el teorema del impulso y el momento angular

Calcular el impulso angular y determinar cambios en el momento angular de un sistema rotante.

Analizar equilibrio estático y módulos elásticos

Aplicar las dos condiciones de equilibrio y calcular deformaciones usando los módulos de Young, corte y volumétrico.

Resolver problemas de gravitación y órbitas

Usar la ley de gravitación universal y las tres leyes de Kepler para analizar movimiento de planetas y satélites.

Tema 13

Momento de Inercia

📐 Definición

El momento de inercia I es una cantidad física que mide la resistencia a la rotación de un objeto rígido. Es el análogo rotacional de la masa en la traslación.

Definición integral:
I = ∫ r² dm [kg·m²]

Usando densidad volumétrica (ρ = m/V):
I = ∫ r² ρ dV

Densidad lineal: λ = M/L = ρA [kg/m]
Densidad superficial: σ = M/A [kg/m²]

📌 Clave

r es la distancia del eje de giro al centro de masa del elemento de masa. Entre mayor sea la distancia, mayor es el momento de inercia.

🔢 Condición de homogeneidad

Si el objeto es homogéneo (densidad constante), la integral se puede evaluar directamente para la geometría conocida.

Tema 13

Momentos de Inercia por Geometría

Aplicando la integral de momento de inercia, Serway y Jewett (2018) obtienen expresiones para cuerpos rígidos comunes con m = masa y r = radio:

Objeto rígido	Fórmula (I)	Valor (m=1 kg, r=1 m)
Aro / Cascarón cilíndrico delgado	`I = mr²`	1.00 kg·m²
Cilindro hueco grueso	`I = ½m(r₁²+r₂²)`	—
Disco / Cilindro sólido	`I = ½mr²`	0.50 kg·m²
Esfera hueca (cascarón)	`I = ⅔mr²`	0.67 kg·m²
Esfera sólida	`I = ⅖mr²`	0.40 kg·m²
Barra delgada (eje en centro)	`I = 1/12 mL²`	—
Barra delgada (eje en extremo)	`I = ⅓mL²`	—
Placa rectangular	`I = 1/12 m(a²+b²)`	—

🏁 Orden de llegada en plano inclinado (menor I → llega primero)

1° Esfera sólida (I = 0.40) → 2° Disco y Cilindro (I = 0.50) → 3° Esfera hueca (I = 0.67) → 4° Aro / Cascarón cilíndrico (I = 1.00)

Tema 13 · 13.1

Energía Cinética Rotacional y Trabajo

Energía cinética rotacional:
K_rot = ½ I ω² [J = kg·m²/s²]

Teorema Trabajo – Energía Cinética Rotacional:
W_neto = ½ I ω_f² − ½ I ω_o² = ΔK_rot

📖 Interpretación

El trabajo neto aplicado a un cuerpo rígido produce un cambio en su energía cinética rotacional. Es el análogo exacto del teorema trabajo-energía para movimiento traslacional.

Ejemplo resuelto — Disco de afilar cuchillos

Datos:

K_rot = 750 J | I = 0.099 kg·m² | W_neto = 32 kJ

a) Velocidad angular:

ω = √(2K/I) = √(2×750 / 0.099) ≈ 123.1 rad/s

b) Velocidad angular inicial si W_neto = 32 kJ:

ω₀ = √(ω_f² − 2W/I) → despejando de la ecuación anterior

Tema 13 · 13.1

Momento Angular e Impulso Angular

Momento angular:
L = I ω [kg·m²/s]

Segunda Ley de Newton rotacional:
τ_neta = I α

Teorema Impulso – Momento Angular:
τ_neta · t = L_f − L_o = ΔL

🔄 Conservación del Momento Angular

Si la torca neta externa = 0, el momento angular se conserva:

I₀ω₀ = I_f ω_f = constante

Ejemplo: patinador que recoge los brazos — disminuye I, aumenta ω.

✈️ Ejemplo: Hélice de turbina

I = 2.5 kg·m² | ω = (40 rad/s³)t²

L(t) = Iω = 2.5(40t²) = 100t² kg·m²/s

L(t=3s) = 900 kg·m²/s

τ(t) = dL/dt = 200t N·m

τ(t=3s) = 600 N·m

Tema 14

Equilibrio Estático

🏗️ Contexto

El equilibrio y la elasticidad son fundamentales para el diseño de estructuras: puentes, espectaculares, grúas y escaleras. Entender estas condiciones permite construir con seguridad.

Dos condiciones de equilibrio

1ª condición (traslacional):
ΣF = 0 → ΣFₓ=0, ΣFᵧ=0

2ª condición (rotacional):
Στ = 0 → Σtorcas respecto a cualquier punto = 0

💡 Conservación del Momento Angular

Si Στ_ext = 0 → L se conserva: I₀ω₀ = I_f ω_f

Ejemplo: Estrella de Neutrones

Datos:

Estrella original: R₀ = 1×10⁴ km, T₀ = 30 días
Después de supernova: R_f = 4 km

Por conservación (I = k·m·r²):

T_f/T₀ = (R_f/R₀)²
T_f = 30 × (4/10000)² días
T_f ≈ 4.8 × 10⁻⁵ días ≈ 4.1 s

¡Una estrella de neutrones gira varias veces por segundo!

Tema 14

Elasticidad y Módulos Elásticos

🧱 Definición

La elasticidad es la propiedad que permite a un material deformarse por fuerzas externas y recuperar su forma original al retirarlas. Se define el módulo elástico como:
Módulo Elástico = Esfuerzo / Deformación

📏 Módulo de Young (Y)

Mide la resistencia a un cambio en longitud. Se usa para barras y alambres bajo tensión o compresión.

Y = (F/A) / (ΔL/L₀)

Acero: Y ≈ 20×10¹⁰ Pa

↔️ Módulo de Corte (S)

Mide la resistencia al movimiento de planos paralelos dentro de un sólido.

S = (F/A) / (Δx/h)

Unidades: Pa [N/m²]

🫧 Módulo Volumétrico (B)

Mide la resistencia a cambios de volumen. Aplica a sólidos y líquidos.

B = −ΔP / (ΔV/V₀)

Latón: B ≈ 6.1×10¹⁰ Pa

Ejemplo: Esfera de latón sumergida

Datos:

ΔP = 2.7×10⁷ − 1.5×10⁵ ≈ 2.685×10⁷ N/m² | V = 0.55 m³ | B = 6.1×10¹⁰ Pa

ΔV = −(ΔP · V) / B = −(2.685×10⁷ × 0.55) / 6.1×10¹⁰ ≈ −2.42×10⁻⁴ m³

El signo negativo indica que el volumen disminuye al aumentar la presión.

Tema 15

Ley de Gravitación Universal

Ley de Newton de la Gravitación Universal:
F = G · (m₁ · m₂) / r² [N]

Constante gravitacional: G = 6.67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²

Gravedad superficial (planeta de masa M y radio R):
g = G · M / R²

Velocidad orbital de un satélite:
v = √(GM / R)

🌍 Para la Tierra

M = 5.9736 × 10²⁴ kg | R = 6371 km

g = GM/R² ≈ 9.8 m/s²

⚖️ Ejemplo: Balanza de Cavendish

m₁ = 0.015 kg | m₂ = 0.60 kg | r = 0.054 m

F = G·m₁·m₂/r² =
(6.67×10⁻¹¹ × 0.015 × 0.60) / (0.054)²

F ≈ 2.06 × 10⁻⁷ N

Tema 15

Las Tres Leyes de Kepler

🔭 Johannes Kepler (1571–1630)

Astrónomo alemán que desarrolló las leyes del movimiento planetario basándose en las observaciones de su maestro Tycho Brahe.

Primera Ley · Ley de las Órbitas

Los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol

El Sol se encuentra en uno de los focos de la elipse. El eje mayor es 2a (semieje mayor = a). La excentricidad e (0 < e < 1) mide cuán "aplastada" es la elipse.

Segunda Ley · Ley de las Áreas

El radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales

Refleja la conservación del momento angular: L = mv₁r₁ = mv₂r₂. El planeta se mueve más rápido en el perihelio (más cerca del Sol) y más lento en el afelio (más lejos).

Tercera Ley · Ley de los Periodos

T² es proporcional a a³

T² = K·a³ | Para órbitas alrededor del Sol: K_S = 4π²/(GM_S) = 2.97×10⁻¹⁹ s²/m³

Relación entre dos planetas: (T₁/T₂)² = (a₁/a₂)³

Ejemplos

Ejemplos Resueltos Integrados

🏋️ Acróbata con pesas giratorias

Datos:

I (cuerpo, brazos extendidos) = 3 kg·m² | Pesa = 5 kg c/u | r₀ = 1 m | r_f = 0.20 m | T₀ = 2 s

ω₀ = 2π/T = π rad/s
I₀(pelotas) = 2×5×1² = 10 kg·m²
I_total₀ = 3 + 10 = 13 kg·m²

I_f(pelotas) = 2×5×0.2² = 0.40 kg·m²
I_total_f = 2.2 + 0.40 = 2.60 kg·m²

ω_f = I₀ω₀/I_f = 13π/2.6 = 5π ≈ 15.7 rad/s

🛰️ Satélite en órbita

Datos hipotéticos:

Satélite a 400 km sobre la Tierra
R_órbita = 6371 + 400 = 6771 km = 6.771×10⁶ m

v = √(GM/R)
v = √(6.67×10⁻¹¹ × 5.97×10²⁴ / 6.77×10⁶)
v ≈ 7,670 m/s ≈ 7.67 km/s

🌟 Planeta enano Ceres

a = 4.14×10⁸ m | e = 0.076

T² = K_S · a³ → T = √(K_S · a³)

Ejercicio Práctico

Actividad: Plano Inclinado con Objetos Rodantes

🎯 Dinámica Rotacional y Gravitación Terrestre

🔩 Materiales necesarios

Cuatro objetos rodantes: esfera sólida, esfera hueca, aro y disco. Una tabla de 1 metro de largo (plano inclinado). Cinta métrica, reloj y cámara fotográfica.

📋 Etapa 1: Momentos de inercia

Escribe en la tabla la expresión de I para cada objeto rodante. Compara sus valores: ¿cuál tiene mayor resistencia a la rotación?

⏱️ Etapa 2: Mediciones en el plano

Mide el tiempo que tarda cada objeto en recorrer el plano. Usa las ecuaciones de dinámica rotacional para calcular su velocidad lineal final y angular.

🌍 Etapa 3: Gravedad en varios puntos

Usa las ecuaciones de gravedad para calcular la fuerza gravitacional sobre una persona de 70 kg en el polo norte, el ecuador y la cima del Everest.

📝 Entregables

Fotografía del sistema físico · Tabla de momentos de inercia · Tabla de velocidades · Cálculo de gravedad en los tres puntos · Conclusiones sobre la influencia del momento de inercia en la rotación.

Actividad Evaluable

Problemas: Dinámica Rotacional y Gravitación

Parte 1 — Momentos de inercia

Barra delgada: m = 4 kg, L = 0.8 m (eje en centro)
Esfera sólida: m = 5 kg, r = 14 cm (eje propio)
Cilindro hueco: m = 3 kg, r = 22 cm
Placa rectangular: m = 4.5 kg
Esfera hueca: m = 6 kg, r = 25 cm

Parte 2 — Trabajo y Momento Angular

Polea: F = 65 N, r = 0.15 m, I = 2.5×10⁻³ kg·m² (1 m de cuerda)
Acróbata: brazos extendidos → manos en abdomen

Parte 3 — Equilibrio y Elasticidad

Varilla de acero: L = 2 m, A = 0.35 cm², carga = 650 kg, Y = 20×10¹⁰ Pa
Balancín: equilibrar hermanos en posiciones distintas

Parte 4 — Gravitación y Kepler

Fuerza gravitacional Tierra–Satélite
Planeta enano Ceres: a = 4.14×10⁸ m, e = 0.076, m_S = 1.99×10³⁰ kg
Aplicar 3ª Ley de Kepler para determinar período orbital

📌 Entregable

Actividad impresa contestada, documentada y fundamentada.

Cierre

Síntesis de los Temas 13, 14 y 15

⚙️ Tema 13: Momento de inercia

Análogo rotacional de la masa. Determina la resistencia a la rotación. Menor I → llega primero en el plano inclinado.

🔄 Energía y Momento Angular

K_rot = ½Iω². Si Στ = 0 → L se conserva: I₀ω₀ = I_fω_f (patinador, estrella de neutrones).

🏗️ Tema 14: Equilibrio

Dos condiciones: ΣF = 0 y Στ = 0. Base para diseño de estructuras civiles y mecánicas.

🧱 Elasticidad

Módulos de Young (longitud), Corte (planos) y Volumétrico (volumen). Deformación reversible antes del límite elástico.

🌍 Tema 15: Gravitación

F = Gm₁m₂/r². Permite calcular g en cualquier planeta, velocidad orbital de satélites y el movimiento de cuerpos celestes.

🪐 Leyes de Kepler

1ª Órbitas elípticas. 2ª Áreas iguales (L conservado). 3ª T² ∝ a³. Válidas para cualquier sistema orbital.

🎯 Conexión fundamental

La mecánica rotacional es la extensión natural de la mecánica traslacional. Cada concepto traslacional (masa, fuerza, impulso, trabajo, energía cinética) tiene su análogo rotacional. Dominarlos es esencial para la ingeniería de sistemas mecánicos, aeroespaciales y civiles.

Checkpoint

Verificación y Glosario

✅ Asegúrate de poder:

Calcular I para barras, cilindros, discos y esferas
Aplicar el Teorema Trabajo–Energía Cinética Rotacional
Calcular el momento angular y aplicar su conservación
Resolver equilibrio estático con las dos condiciones
Usar los módulos de Young, Corte y Volumétrico
Calcular fuerzas gravitacionales y velocidades orbitales
Aplicar las tres leyes de Kepler a planetas y satélites

Glosario esencial

Momento de inercia (I)

Medida de la resistencia de un cuerpo rígido a cambiar su estado de rotación. Unidades: kg·m².

Torque / Momento de torsión (τ)

Medida de la capacidad de una fuerza para producir rotación. τ = r × F [N·m].

Velocidad angular (ω)

Rapidez con que varía el ángulo de rotación. Unidades: rad/s.

Momento angular (L)

L = Iω. Cantidad conservada cuando la torca neta externa es cero.

Límite elástico

Esfuerzo máximo que puede soportar un material sin deformación permanente.

Semieje mayor (a)

La mitad del eje más largo de una elipse. Aparece en la 3ª ley de Kepler: T² = Ka³.

Bibliografía

Referencias y Recursos

Libros de texto

[1] Libro de texto principal

Serway, R. y Jewett, J. (2018). Física para ciencias e ingeniería, Vol. 1 (10ª ed.). México: CENGAGE Learning.
ISBN: 9786075266695

Capítulos: 10 (Rotación), 11 (Cantidad de movimiento angular), 12 (Equilibrio), 13 (Gravitación)

[2] Libro de apoyo

Young, H. y Freedman, R. (2018). Sears y Zemansky Física Universitaria con Física Moderna. México: Pearson.
ISBN: 9786073244404

Recursos digitales

🎬 Video educativo

Scienza Education. (2020). Ley de gravitación universal.
youtube.com/watch?v=nz3v_GpsDTc

🖥️ Simuladores interactivos

PhET Interactive Simulations (University of Colorado). Simuladores de "Gravedad y Órbitas" y de objetos rodantes en planos inclinados.

lscn1804 · Física para Ingeniería

¡Buen trabajo! Sigue explorando el universo

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